Définition
Dans un espace vectoriel de dimension \(3\), on peut définir le produit vectoriel \(\vec u\land\vec v\) des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) comme étant le vecteur perpendiculaire au plan formé par \(\vec u\) et \(\vec v\) et dont la norme est égale à la surface du parallélogramme défini par ces mêmes vecteurs
On définit le produit vectoriel des deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\), noté \(\vec u\land\vec v\), comme étant le vecteur :- normal au plan vectoriel de base \((\vec u,\vec v)\)
- dont la norme vaut \(\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert\lvert\sin(\widehat{\vec u,\vec v})\rvert\)
- tel que \((\vec u,\vec v,(\vec u\land\vec v))\) forme une base directe
Notation
Notation : le produit vectoriel peut aussi être noté \(\vec u\times\vec v\) et \([\vec u,\vec v]\)
Propriétés
Propriétés du produit vectoriel :- si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires, on a alors \({{\vec u\land\vec v}}={{0}}\)
- le produit vectoriel est antisymétrique : \({{\vec u\land\vec v}}={{-\vec v\land\vec u}}\)
- \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec u\land\vec v\) forment un trièdre direct
Dans le plan, le produit vectoriel correspond au déterminant
(
Plan,
Déterminant)
Formules utiles
Formule générale du produit vectoriel
Calcul des composantes de \(\vec u\land\vec v\) selon les composantes de \(\vec u\) et \(\vec v\) :
$$\vec u\begin{pmatrix}u_x\\ u_y\\ u_z\end{pmatrix}\qquad\vec v\begin{pmatrix}v_x\\ v_y\\ v_z\end{pmatrix}$$$\(\vec u\land\vec v\begin{pmatrix}{{u_yv_z-u_zv_y}}\\ {{u_zv_x-u_xv_z}}\\ {{u_xv_y-u_yv_x}}\end{pmatrix}\)$
Soient \(\vec u\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3\end{pmatrix}\) deux vecteurs. $${{\vec u\land\vec v}}={{\vec i\begin{vmatrix}a_2&b_2\\ a_3&b_3\end{vmatrix}-\vec j\begin{vmatrix}a_1&b_1\\ a_3&b_3\end{vmatrix}+\vec k\begin{vmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{vmatrix} }}$$
Dérivée
$$\left({{\vec u\land\vec v}}\right)'={{\vec u'\land\vec v+\vec u\land\vec v'}}$$
Produits vectoriels particuliers
Vecteurs unitaires
Avec les vecteur unitaire : $$\vec i\land\vec j={{\vec k}}$$
(
Vecteur unitaire - Vecteur unité)
Vecteur nul
Avec vecteur nul : $$\vec u\land{{\vec0}}={{\vec 0}}$$
(
Vecteur nul)
Antisymétrie
Antisymétie du produit vectoriel : $$\vec u\land\vec v=-\vec v\land\vec u$$
(
Fonction antisymétrique - Fonction anti-symétrique)
Produit vectoriel par soi-même
$$\vec u\land\vec u={{\vec 0}}$$
Homogénéité
$$(\lambda\vec u)\land v={{\lambda(\vec u\land\vec v)}}$$
(
Homogénéité - Fonction homogène)
Additivité
Additivité du produit vectoriel : $$(\vec u_1+\vec u_2)\land\vec v={{\vec u_1\land\vec v+\vec u_2\land\vec v}}$$
(
Additivité - Fonction additive)
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si $${{\vec u\land\vec v}}={{0}}$$
(
Vecteurs colinéaires - Colinéarité)